Question

已知直線l：y=2x-與橢圓C：+y²=1 （a＞1）交于P、Q兩點(diǎn)，
（1）設(shè)PQ中點(diǎn)M（x₀，y₀），求證：x₀＜；
（2）以PQ為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A．求橢圓C的方程．

Answer 1

解：（1）證明：把y=2x-代入+y²=1 （a＞1），
得：+（2x-）²=1（a＞1），
整理，得，
∴，
∵4a²+1＞4a²，
∴．
（2）由題設(shè)知，
∴（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，
∵，，
∴，
由，
知，，
∴，
即，
∵a＞1，
∴，故a=．
∴橢圓C的方程．
分析：（1）把y=2x-代入+y²=1 （a＞1），得，，mh 4a²+1＞4a²，能夠證明．
（2）由題設(shè)知，（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，所以，即，由a＞1，得，故a=．由此能求出橢圓C的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．