Question

如果定義在[0，1]上的函數(shù)f（x）滿足：若對(duì)任意x₁，x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|x₁-x₂|成立，則稱(chēng)f（x）為“M函數(shù)”．
（Ⅰ）已知函數(shù)g（x）=

1

x+2

，x∈[0，1]．判斷g（x）是否為“M函數(shù)”，并說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若h（x）為“M函數(shù)”，且h（0）=h（1），求證：對(duì)任意x₁，x₂∈[0，1]，有|h（x₁）-h（x₂）|＜

1

2

．（提示：|a+b|≤|a|+|b|，a，b∈R）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，求得

|g(x1)-g(x2)|

|x1-x2|

的表達(dá)式判斷出其小于1即可證明|g（x₁）-g（x₂）|＜|x₁-x₂|．
（Ⅱ）設(shè)0≤x₂≤x₁≤1，先看x₂=x₁時(shí)不等式成立，再看不相等時(shí)根據(jù)|h（x₁）-h（x₂）|=|h（x₁）-h（1）+h（0）-h（x₂）|利用M函數(shù)的定義的性質(zhì)證明結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）是“M函數(shù)”，
理由如下：
設(shè)x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂，

|g(x1)-g(x2)|

|x1-x2|

=

| 1 x1+2 - 1 x2+2 |

|x1-x2|

=|

1

(x1+2)(x2+2)

|，
∵x₁，x₂∈[0，1]，2≤2+x₁≤3，2≤2+x₂≤3，
∴

|g(x1)-g(x2)|

|x1-x2|

＜1，
則|g（x₁）-g（x₂）|＜|x₁-x₂|成立．
（Ⅱ）由h（x）為“M函數(shù)”，則|h（x₁）-h（x₂）|＜|x₁-x₂|成立，
不妨設(shè)0≤x₂≤x₁≤1，
當(dāng)x₂=x₁時(shí)，|h（x₁）-h（x₂）|=0＜

1

2

，
當(dāng)0＜x₁-x₂＜1時(shí)，由h（0）=h（1），
則|h（x₁）-h（x₂）|=|h（x₁）-h（1）+h（0）-h（x₂）|≤|h（x₁）-h（1）|+|h（0）-h（x₂）|≤|x₁-1|+|0-x₂|=1-（x₁-x₂）＜1-

1

2

=

1

2

，
綜上所述|h（x₁）-h（x₂）|＜

1

2

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì)和解不等式的相關(guān)問(wèn)題．考查了學(xué)生分析和推理的能力．