Question

已知點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=sin（?x+φ）圖象上的任意兩點(diǎn)，其中?＞0，-

π

2

＜φ＜0，且角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-1），若|f（x₁）-f（x₂）|=2時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為

π

3

，則f（

π

2

）的值是

-

2

2

．

Answer 1

分析：由任意角的三角函數(shù)的定義求得tanφ=-1，故可以取φ=-

π

4

．再根據(jù)函數(shù)的圖象的相鄰的2條對(duì)稱(chēng)軸間的距離等于 

π

3

，故函數(shù)的周期為 

2π

3

，由此求得ω 的值，從而求得函數(shù)的解析式，即可求得 f（

π

2

）的值．

解答：解：∵角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，-1），
∴角φ的終邊在第四象限，-

π

2

＜φ＜0且tanφ=-1，
故可以取φ=-

π

4

．
點(diǎn)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象上的任意兩點(diǎn)，
若|f（x₁）-f（x₂）|=2時(shí)，|x₁-x₂|的最小值為

π

3

，
則函數(shù)的圖象的相鄰的2條對(duì)稱(chēng)軸間的距離等于

π

3

，故函數(shù)的周期為

2π

3

，
∴

2π

ω

=

2π

3

，解得ω=3．
故函數(shù)的解析式為 f（x）=sin（3x-

π

4

），
∴f（

π

2

）=sin（

3π

2

-

π

4

）=sin

5π

4

=-sin

π

4

=-

2

2

，
故答案為：-

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，屬于中檔題．