Question

若二次函數(shù)滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若在R上，不等式f（x）＞2x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，設其方程為y=ax²+bx+1代入f（x+1）-f（x）=2x恒成立，整理得2ax+a+b=2x恒成立，既得解得
故f（x）=x²-x+1
（2）在R上不等式f（x）＞2x+m恒成立，即x²-3x+1-m＞0恒成立，故△=9-4（1-m）＜0，解得m＜-
分析：（1）二次函數(shù)滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，設其方程為y=ax²+bx+1，代入f（x+1）-f（x）=2x，整理后利用同一性求出系數(shù)，
（2）不等式f（x）＞2x+m恒成立，即f（x）-2x-m＞0恒成立，由判別式求參數(shù)即可
點評：本題考查函數(shù)解析式的求解及常用方法，解題的關(guān)鍵是了解二次函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)利用待定系數(shù)法設出解析式，再代入所給的條件求出參數(shù)，在第二問，求解的關(guān)鍵是整理成一個二次函數(shù)函數(shù)值恒正的問題，如此則可以轉(zhuǎn)化為用判別式求解參數(shù)的范圍，本題訓練了轉(zhuǎn)化化歸能力