Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，并且對于任意n∈N^*，且n＞1時，都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=

1

an

（n∈N^*）．
（I）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列{

an

n

}的前n項和T_n，并證明T_n＜

3

4

-

1

n+2

．

Answer 1

分析：（I）、當n=1時，先求出b₁=3，當n≥2時，求得b _n+1與b_n的關系即可知道b_n為等差數(shù)列，然后便可求出數(shù)列{b_n}的通項公式；
（II）根據（I）中求得的b_n的通項公式先求出數(shù)列{

an

n

}的表達式，然后求出T_n的表達式，根據不等式的性質即可證明T_n＜

3

4

-

1

n+2

．

解答：解：（I）當n=1時，b₁=

1

a1

=3，
當n≥2時，b_n-b_n-1=

1

an

-

1

an-1

=

an-1-an

an•an-1

=1，
∴數(shù)列{b_n}是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=n+2．

（II）∵

an

n

=

1

nbn

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
∴T_n=

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an-1

n-1

+

an

n

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]=

1

2

[

3

2

-（

1

n+1

+

1

n+2

）]
=

1

2

[

3

2

-

2n+3

(n+1)(n+2)

]，
∵

2n+3

(n+1)(n+2)

＞

2n+2

(n+1)(n+2)

=

2

n+2

，
∴-

2n+3

(n+1)(n+2)

＜-

2

n+2

，
∴T_n＜

3

4

-

1

n+2

．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及等差數(shù)列與不等式的結合，考查了學生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．