Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1與x=2處有極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；    
（2）求f（x）在[-2，3]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由于函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1與x=2處有極值，可知-1，2是f′（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，代入即可解出；
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）．利用f′（x）=0，解得x=-1，2．列出表格：即可得出極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，經(jīng)過比較即可得出最值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+1在x=-1與x=2處有極值，
∴-1，2是f′（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴

3-2a+b=0 12+4a+b=0

，解得

a=- 3 2 b=-6

．
∴f（x）=x3-

3

2

x2-6x+1．
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-3x-6=3（x-2）（x+1）．
利用f′（x）=0，解得x=-1，2．
列出表格：

x	[-2，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

由表格可知：當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，f（-1）=

9

2

；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，f（2）=-9．又f（-2）=-1，f（3）=-

7

2

．
可得：當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值

9

2

；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值-9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．