Question

f（x）=ln（x+1）-x+

k

2

x²
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程．
（2）討論f（x）的單調(diào)性．
（3）當(dāng)k＞0時(shí)，方程f（x）=0 在區(qū)間[0，1]有2個(gè)不同的根，求k范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)值，從而得到切線的斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡成一般式即可得到f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），分k=0、k＜0、0＜k＜1、k=1、k＞1幾種情形，分別在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可得到各種情況下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）根據(jù)（2）的單調(diào)性結(jié)論，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得0＜k＜1，并由此建立關(guān)于k的不等式組，解之即可得到符合題意的實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=ln（1+x）-x+x²，
∴求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=

1

1+x

-1+2x，可得f’（1）=

3

2

且f（1）=ln2，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-ln2=

3

2

（x-1），化簡得3x-2y+2ln2-3=0；
（2）f'（x）=

x(kx+k-1)

1+x

，x∈（-1，+∞）
①當(dāng)k=0時(shí)，f′（x）=-

x

1+x

因此，在區(qū)間（-1，0）上f'（x）＞0；在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）＜0；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
②當(dāng)k＜0時(shí)，因?yàn)?span id="feoxqvu" class="MathJye">

kx+k-1

1+x

=

k(x+1)-1

1+x

=k+

-1

1+x

＜0
∴若x＞0，則f'（x）=

x(kx+k-1)

1+x

＜0；若-1＜x＜0，則

x(kx+k-1)

1+x

＞0
因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）；
③當(dāng)0＜k＜1時(shí)，f′（x）=

x(kx+k-1)

1+x

=0，得x₁=0，x₂=

1-k

k

＞0；
因此，在區(qū)間（-1，0）和（

1-k

k

，+∞）上，f'（x）＞0；在區(qū)間（0，

1-k

k

 ）上，f'（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）和（

1-k

k

，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，

1-k

k

）；
④當(dāng)k=1時(shí)，f′（x）=

x2

1+x

≥0恒成立，故f（x）的遞增區(qū)間為（-1，+∞）；
⑤當(dāng)k＞1時(shí)，由f′（x）=

x(kx+k-1)

1+x

=0，得x₁=0，x₂=

1-k

k

∈（-1，0）；
因此，在區(qū)間（-1，

1-k

k

）和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在區(qū)間（

1-k

k

，0）上，f'（x）＜0；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，

1-k

k

）和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（

1-k

k

，0）．
（3）∵當(dāng)k＞0時(shí)，方程f（x）=0 在區(qū)間[0，1]有2個(gè)不同的根
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的單調(diào)性是先增后減，或先減后增
再根據(jù)（2）中的單調(diào)性，可得0＜k＜1，且函數(shù)f（x）在（0，

1-k

k

）上為減函數(shù)，在（

1-k

k

，+∞）上為增函數(shù)
∴根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，得

1-k k ＜1 f( 1-k k )＜0 f(0)≥0 f(1)≥0

，解之可得2-2ln2≤k＜1
即方程f（x）=0 在區(qū)間[0，1]有2個(gè)不同的根時(shí)，實(shí)數(shù)k的取值范圍為[2-2ln2，1）．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬于中檔題．本題是一道綜合題，還考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想等常用的數(shù)學(xué)知識，是一道不錯(cuò)的高考題．