Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱長(zhǎng)都是2，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱CC₁的中點(diǎn)，AE交A₁D于點(diǎn)H．
（1）求證：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）
（3）求點(diǎn)B₁到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用

AE

⊥

A1D

，

AE

⊥

BD

得到AE⊥A₁D，AE⊥BD，從而證得AE⊥平面A₁BD．
（2）先求出面DA₁B的法向量

n1

，面BA₁A的法向量

n2

，再利用兩法向量夾角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)的關(guān)系求解即可．
（3）點(diǎn)B₁到平面A₁BD的距離等于

B1B

在面A₁BD的法向量

n1

方向上投影的絕對(duì)值．

解答：解：（1）證明：以DA所在直線為x軸，過(guò)D作AC的垂線為y軸，DB所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），C（-1，0，0）
E （-1，-1，0）A₁ （1，-2，0）C₁ （-1，-2，0）B （0，0，

3

）        

AE

=（-2，-1，0）

A1D

=（-1，2，0）

BD

=（0.0，-

3

）      

∵

AE

•

A1D

=2-2+0=0
∵

AE

•

BD

=0，∴∴

AE

⊥

A1D

，

AE

⊥

BD

即AE⊥A₁D，AE⊥BD，又A₁D∩BD=D
∴AE⊥面A₁BD
（2）設(shè)面DA₁B的法向量為

n1

=（x₁，y₁，z₁）由

n1

•

A1D

=0，

n1

•

BD

=0
得

-x1+2y1=0 z1(- 3 )=0

取

n1

=（2，1，0）
設(shè)面BA₁A的法向量為

n2=

(x2，y2，z2)，
同理由

n2

 •   

A1B

=0，   

n2

• 

A1A

 =0
解得

n2

=（3.0，

3

），
cos＜

n1

，

n2

＞=

6

5 × 12

=

15

5

．
由圖可知二面角D-BA₁-A為銳二面角，所以它的大小為arccos

15

5

．
（3）

B1B

=（0，2，0）平面A₁BD的法向量取

n1

=（2，1，0）
則點(diǎn)B₁到平面A₁BD的距離d=|

B1B • n1

| n1 |

|  =

2

5

=

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考用空間向量解決直線和平面位置關(guān)系、二面角大小，點(diǎn)面距的計(jì)算，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，空間想象能力，計(jì)算能力．屬于常規(guī)題目．