Question

已知函數(shù)f（x）=x²（x-t），t＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線的斜率為k，當(dāng)x₀∈（0，1]時(shí)，k≥-

1

2

恒成立，求t的最大值．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（II）當(dāng)x₀∈（0，1]時(shí)，k≥-

1

2

恒成立，等價(jià)于x₀∈（0，1]時(shí)，2t≤3x0+

1

2x0

恒成立，求出右邊函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：（I）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=x（3x-2t）
令f′（x）＞0，∵t＞0，∴x＜0或x＞

2t

3

；
令f′（x）＜0，∵t＞0，∴0＜x＜

2t

3

；
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（

2t

3

，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，

2t

3

）；
（II）∵當(dāng)x₀∈（0，1]時(shí)，k≥-

1

2

恒成立，
∴x₀∈（0，1]時(shí)，2t≤3x0+

1

2x0

恒成立
∵3x0+

1

2x0

≥2

3x0× 1 2x0

=

6

（當(dāng)且僅當(dāng)x₀=

6

6

時(shí)取等號(hào)）
∴2t≤

6

，∴t≤

6

2

，
∴t的最大值為

6

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．