已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，a∈R。
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有共同的切線，求a的值和該切線方程；
（2）設函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），當h（x）存在最小值時，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）對（2）中的φ（a）和任意的a>0，b>0，證明：。
解：（1）
由已知得
解得，x=e2
∴兩條曲線交點的坐標為（e2，e）
切線的斜率為
∴切線的方程為。
（2）由條件知
∴
（i）當a>0時，令h'（x）=0，解得x=4a2
∴當0＜x＜4a2時，h'（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上遞減
當x>4a2時，h'（x）>0，h（x）在（4a2，+∞）上遞增
∴x=4a2是h（x）在（0，+∞）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是h（x）的最小值點
∴最小值φ（a）= h（4a2）=2a-aln4a2=2a（1-ln2a）。
（ii）當a≤0時，
h（x）在（0，+∞）上遞增，無最小值。
故h（x）的最小值φ（a）的解析式為φ（a）= 2a（1-ln2a）（a >0）。
（3）由（2）知φ'（a）=-21n2a，對任意的a>0，b>0



故由①②③得
。
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達式；
（2）若關于x的方程f（x）-a=o有解，求實數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2010的值為（　　）
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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