Question

14．若不等式x²+2+|x³-2x|≥ax對(duì)任意的x∈[1，2]恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　　）

• A． a≤4
• B． a≤5
• C． a≤2$\sqrt{2}$
• D． a≤1

Answer 1

分析 分離參數(shù)a，把不等式變形為a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|，只需a小于等于a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|的最小值即可

解答 解：由x²+2+|x³-2x²|≥ax在x∈[1，2]內(nèi)恒成立，
∴a≤x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x|，
而x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$∈[1，2]時(shí)取等號(hào)，
且|x²-2x|≥0，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=2∈[1，2]時(shí)成立；
∴x+$\frac{2}{x}$+|x²-2x||的最小值為2$\sqrt{2}$，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$∈[1，2]時(shí)成立．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2$\sqrt{2}$]．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)恒成立問題以及絕對(duì)值不等式的解法、基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，本題中要注意等號(hào)須同時(shí)成立．