Question

求函數(shù)y=sin(x+

π

6

)+sin(x-

π

6

)+cosx，x∈[0，π]的單調(diào)區(qū)間、最大值和最小值．

Answer 1

分析：把函數(shù)f（x）的解析式中前兩項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并后提取2，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍，得到這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可求出函數(shù)遞增及遞減時x的范圍，即為函數(shù)f（x）的遞增及遞減區(qū)間；根據(jù)這個角的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得正弦函數(shù)的最值，從而得到函數(shù)的最大值及最小值．

解答：解：f(x)=sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

+sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

+cosx
=2sinxcos

π

6

+cosx
=

3

sinx+cosx
=2sin(x+

π

6

)，
由于x∈[0，π]，得到x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
所以sin（x+

π

6

）的遞增區(qū)間為

π

6

≤x+

π

6

≤

π

2

，遞減區(qū)間為

π

2

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
所以f（x）單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

3

]，單調(diào)減區(qū)間為[

π

3

，π]；
∵sin（x+

π

6

）的最大值為1，最小值為-

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為-1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性以及正弦函數(shù)的最值，把函數(shù)解析式利用三角函數(shù)的恒等變形化為一個角的正弦函數(shù)是本題的突破點，同時熟練掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．