Question

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，n=1，2，3，…．
求證：100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．

Answer 1

分析：為了證明100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．先用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）．故首先檢驗(yàn)當(dāng)n=1時(shí)，等式兩邊成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，等式兩邊成立，寫出此時(shí)的等式，準(zhǔn)備后面要用，再檢驗(yàn)當(dāng)n=k+1時(shí)，等式成立，使用n=k時(shí)的條件，整理出結(jié)果，最后總結(jié)對(duì)于所有的自然數(shù)結(jié)論都成立．從而證得100+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）=100f（100）．

解答：證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）．
證（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=2+f（1）=2+1=3，右邊=2(f(2))=2(1+

1

2

)=3
∴左邊=右邊，∴等式成立．…（3分）
（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，即（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（k））=（k+1）f（k+1）
上式兩邊同時(shí)加1+f（k+1）得：（k+1）+1+f（1）+f（2）+…f（k）+f（k+1）=（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）
∵（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）=（k+2）f（k+1）+1，
∴（k+1）f（k+2）+f（k+1）+1-（k+2）f（k+2）=（k+2）[f（k+1）-f（k+2）]+1
=(k+2)(-

1

k+2

)+1=0．
∴（k+1）f（k+1）+1+f（k+1）=（k+2）f（k+2）
∴[（k+1）+1]+f（1）+f（2）+…+f（k）+f（k+1）=（k+2）f（k+2）
∴n=k+1時(shí)等式也成立．…（8分）
由（1）、（2）知，等式（n+1）（f（1）+f（2）+…+f（n））=（n+1）f（n+1）
對(duì)一切n∈N^*都成立．
∴100+f（1）+f（2）+…+f（99）=100f（100）．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，在證明和自然數(shù)有關(guān)的等式或不等式時(shí)，一般應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，實(shí)際上這種問題證明是有一個(gè)固定的模式可以套用，這是注意在由n=k變化為n=k+1時(shí)，千萬要用n=k的結(jié)論．