Question

若函數(shù)y=f（x）（x∈R⁺）同時滿足：①對一切正數(shù)x都有f（3x）=3f（x），②f（x）=1-|x-2|（1≤x≤3），則f（100）=則方程f（x）=f（100）的解的最小值為________．

Answer 1

46
分析：f（100）=3f（）=3f（3×）=9f（）=…=81f（），由此猜想f（x）=，由，知=81•[1-||]=19，f（100）=19，由此能求出方程f（x）=f（100）解的最小值．
解答：f（100）=3f（）=3f（3×）=9f（）=…=81f（），
由此猜想f（x）=，
∵，∴=81•[1-||]=19，
∴f（100）=19，
由f（x）=19，知，
當1，即3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹時，可化為，
即3ⁿ-|2•3ⁿ-x|=19，x=19+3ⁿ，或x=3ⁿ⁺¹-19，
又3ⁿ≤x≤3ⁿ⁺¹，則n≥3，
當n=3時，x=19+27=46，，或x=62，[1，3]，
故方程f（x）=f（100）解的最小值為46．
點評：本題考查歸納推理的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．