Question

正數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：2S_n=a_na_n+1-1，a₁=a＞0．
（1）求證：a_n+2-a_n是一個定值；
（2）若數(shù)列{a_n}是一個單調遞增數(shù)列，求a的取值范圍；
（3）若S₂₀₁₃是一個整數(shù)，求符合條件的自然數(shù)a．?

Answer 1

【答案】分析：（1）由2S_n=a_na_n+1-1，得2S_n+1=a_n+1a_n+2-1，故2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），由此能夠證明a_n+2-a_n=2．
（2）取n=1，得2a=aa₂-1，故，根據(jù)數(shù)列是隔項成等差，能求出a的取值范圍．
（3）由，求出S₂₀₁₃=，由此能夠求出符合條件的自然數(shù)a．
解答：（1）證明：2S_n=a_na_n+1-1①，
2S_n+1=a_n+1a_n+2-1②，
②-①：2a_n+1=a_n+1（a_n+2-a_n），
任意n∈N^*，a_n＞0，
∴a_n+2-a_n=2…（4分）
（2）解：計算n=1，2a=aa₂-1，
∴…（6分）
根據(jù)數(shù)列是隔項成等差，寫出數(shù)列的前幾項：a，，a+2，，a+4，，…
所以奇數(shù)項是遞增數(shù)列，偶數(shù)項是遞增數(shù)列，
整個數(shù)列成單調遞增的充要條件是…（8分）
解得…（10分）
（3）解：，
S₂₀₁₃=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₃）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₂）
=
=…（14分）
S₂₀₁₃是一個整數(shù)，
所以a=1，2，503，1006一共4個
對一個得（1分），合計（4分）
點評：本題考查定值的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查符號條件的自然數(shù)的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．