Question

已知F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點，已知點N(-

a2

c

，0)，滿足

F1F2

=2

NF1

且|

F1F2

|=2，設(shè)A、B是上半橢圓上滿足

NA

=λ

NB

的兩點，其中λ∈[

1

5

，

1

3

]．
（1）求此橢圓的方程；
（2）求直線AB的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）有題意及橢圓的方程和性質(zhì)利用

F1F2

=2

NF1

且|

F1F2

|=2，可以列出 a，b，c的方程，解出即可；
（2）由題意先設(shè)直線的方程為y=k（x+2）（k≠0），把直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立，利用韋達(dá)定理整體代換，借助于與

NA

=λ

NB

，得到k，λ的關(guān)系式，用λ表示k，有λ的范圍再求出k的范圍．

解答：解：（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，
∴

2c=2 2( a2 c -c)=2c a2=b2+c2

，解得

a2=2 b2=1

，
∴橢圓的方程是

x2

2

+y2=1．

（2）∵

NA

=λ

NB

，∴A，B，N三點共線，
而N（-2，0），設(shè)直線的方程為y=k（x+2），（k≠0），
由

y=k(x+2) x2 2 +y2=1

消去x得：

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0
由△=(

4

k

)2-8•

2k2+1

k2

＞0，解得0＜k＜

2

2

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得y1+y2=

4k

2k2+1

，y1y2=

2k2

2k2+1

①，
又由

NA

=λ

NB

得：（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂），∴y₁=λy₂②．
將②式代入①式得：

(1+λ)y2= 4k 2k2+1 λ y 2 2 = 2k2 2k2+1

，
消去y₂得：

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

．
設(shè)?(λ)=

(1+λ)2

λ

=λ+

1

λ

+2，當(dāng)λ∈[

1

5

，

1

3

]時，?（λ）是減函數(shù)，
∴

16

3

≤?(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
解得

1

18

≤k2≤

1

4

，又由0＜k＜

2

2

得

2

6

≤k≤

1

2

，
∴直線AB的斜率的取值范圍是[

2

6

，

1

2

]．

點評：此題考查了橢圓的方程及橢圓的基本性質(zhì)，直線方程與橢圓方程進(jìn)行聯(lián)立設(shè)而不求及整體代換的思想，還考查了利用均值不等式求值域．