Question

【題目】已知拋物線：，圓：.

（1）若過拋物線的焦點(diǎn)的直線與圓相切，求直線方程；

（2）在（1）的條件下，若直線交拋物線于，兩點(diǎn)，軸上是否存在點(diǎn)使（為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）切線方程為或.（2）見解析

【解析】

（1）先求得拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出直線的方程.（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，根據(jù)，則列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）由題知拋物線的焦點(diǎn)為，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，過點(diǎn)的直線不可能與圓相切；

所以過拋物線焦點(diǎn)與圓相切的直線的斜率存在，

設(shè)直線斜率為，則所求的直線方程為，即，

所以圓心到直線的距離為，

當(dāng)直線與圓相切時(shí)，有，

所以所求的切線方程為或.

（2）由（1）知，不妨設(shè)直線：，交拋物線于，兩點(diǎn)，

聯(lián)立方程組，

所以，，

假設(shè)存在點(diǎn)使，

則.

而，，

所以

，

即，

故存在點(diǎn)符合條件.

當(dāng)直線：時(shí)，

由對(duì)稱性易知點(diǎn)也符合條件.

綜合可知在（1）的條件下，存在點(diǎn)使.