Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）令g（x）=ax-f（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性的方法，即轉(zhuǎn)化成研究對任何x≥0，都有g(shù)（x）≥0恒成立，再利用分類討論的方法求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）．（2分）
當(dāng)（k∈Z）時，，即f'（x）＞0；
當(dāng)（k∈Z）時，，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一個區(qū)間（k∈Z）是增函數(shù)，f（x）在每一個區(qū)間（k∈Z）是減函數(shù)．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），則==．
故當(dāng)時，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以當(dāng)x≥0時，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
當(dāng)時，令h（x）=sinx-3ax，則h'（x）=cosx-3a．
故當(dāng)x∈[0，arccos3a）時，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上單調(diào)增加．
故當(dāng)x∈（0，arccos3a）時，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，當(dāng)x∈（0，arccos3a）時，．
當(dāng)a≤0時，有．
因此，a的取值范圍是．（12分）
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．