Question

已知A，B是拋物線x²=2py（p＞0）上的兩點，F(xiàn)為拋物線的焦點，l為拋物線的準(zhǔn)線．
（1）若過A點的拋物線的切線與y軸相交于C點，求證：|AF|=|CF|；
（2）若（A、B異于原點），直線OB與過A且垂直于X軸的直線m相交于P點，求P點軌跡方程；
（3）若直線AB過拋物線的焦點，分別過A、B點的拋物線的切線相交于點T，求證：，并且點T在l上．

Answer 1

【答案】分析：（ 1）由題，可設(shè)A（x₁，y₁），求導(dǎo)得，由點斜式可得過A點的拋物線的切線為，再令x=0解出它與Y軸交點的坐標(biāo)，由拋物線的性質(zhì)解出|AF|與|CF|的長度，比較即可證明出結(jié)論；
（2）可先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．代入結(jié)合拋物線x²=2py（p＞0）得出x₁x₂=-2p²．再表示出直線OB的方程：，直線m的方程：，兩者聯(lián)立，解出P點的軌跡方程；
（3）可設(shè)T（x，y）．由題意，求導(dǎo)可得出．由于AB是焦點弦，可設(shè)AB的方程為，代入x²=2py（p＞0）得：x²-2pkx-p²=0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x₁x₂=-p²，于是k_AT•k_BT=-1，故AT⊥BT．由此得，再由點T在直線AT，BT上，由同一性即可得點T在l上
解答：證明：（ 1）設(shè)A（x₁，y₁），因，則過A點的拋物線的切線為，
令x=0，得，所以，
由定義知|AF|等于點A的拋物線的準(zhǔn)線的距離，即．所以|AF|=|CF|．    …（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）．
因為 ，所以x₁x₂+y₁y₂+p²=0，，，即x₁x₂=-2p²．
直線OB的方程：，直線m的方程：，
（1）×（2）得  ，又x≠0，∴y=-p．即P點軌跡方程為y=-p．…（8分）
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），T（x，y）．則．
由于AB是焦點弦，可設(shè)AB的方程為，代入x²=2py（p＞0）得：x²-2pkx-p²=0，
∴x₁x₂=-p²，于是k_AT•k_BT=-1，故AT⊥BT．
由（1）知，AT的方程：，∴，即xx₁-py₁=py，同理：xx₂-py₂=py．
∴AB的方程為xx-py=py，又∵AB過焦點，∴，即，故T點在準(zhǔn)線l上．…（12分）
點評：本小題主要考查直線及圓錐曲線，考查方程的思想及解析幾何的基本思想，考查運(yùn)算能力和綜合解題的能力．