Question

2．2016年是紅色長征勝利80周年，某市電視臺舉辦紀念紅軍長征勝利80周年知識問答，宣傳長征精神，首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進行支持簽名活動

公園	甲	乙	丙	丁
獲得簽名人數(shù)	45	60	30	15

然后在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運之星回答問題，從10個關于長征的問題中隨機抽取4個問題讓幸運之星回答，全部答對的幸運之星獲得一份紀念品．
（Ⅰ）求此活動軸個各公園幸運之星的人數(shù)
（Ⅱ）若乙公園中每位幸運之星對每個問題答對的概率均為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求恰好2位幸運之星獲得紀念品的概率
（Ⅲ）若幸運之星小李對其中8個問題能答對，而另外2個問題答不對，記小李答對的問題數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望E（X）

Answer 1

分析 （Ⅰ）此活動軸個各公園幸運之星的人數(shù)分別為：$\frac{45}{150}×10$，$\frac{60}{150}×10$，$\frac{30}{150}$×10，$\frac{15}{150}$×10．
（Ⅱ）乙公園中每位幸運之星獲得紀念品的概率為${∁}_{4}^{4}（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{4}$=$\frac{1}{4}$，可得乙公園中恰好2位幸運之星獲得紀念品的概率=${∁}_{4}^{2}×（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$．
（Ⅲ）由題意可得：X的取值為2，3，4．X服從幾何分布列．即可得出．

解答 解：（Ⅰ）此活動軸個各公園幸運之星的人數(shù)分別為：$\frac{45}{150}×10$=3，$\frac{60}{150}×10$=4，$\frac{30}{150}$×10=2，$\frac{15}{150}$×10=1．
（Ⅱ）乙公園中每位幸運之星獲得紀念品的概率為${∁}_{4}^{4}（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴乙公園中恰好2位幸運之星獲得紀念品的概率=${∁}_{4}^{2}×（\frac{1}{4}）^{2}（\frac{3}{4}）^{2}$=$\frac{27}{128}$．
（Ⅲ）由題意可得：X的取值為2，3，4．X服從幾何分布列．P（X=2）=$\frac{{∁}_{8}^{2}{∁}_{2}^{2}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3）=$\frac{{∁}_{8}^{3}{∁}_{2}^{1}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{8}{15}$，P（X=4）=$\frac{{∁}_{8}^{4}}{{∁}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{3}$．
X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

∴數(shù)學期望E（X）=$2×\frac{2}{15}+3×\frac{8}{15}+4×\frac{1}{3}$=$\frac{16}{5}$．

點評 本題考查了幾何分布列的概率計算公式及其數(shù)學期望計算公式、分層抽樣，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．