Question

某連鎖分店銷售某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為4元，并且每件產(chǎn)品需向總店交5元的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元（10≤x≤12）時(shí)，一年的銷售量為（13-x）²萬件．
（1）求該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式L（x）（銷售一件商品獲得的利潤為x-（4+5））；
（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤L最大，并求出L的最大值．

Answer 1

分析：（1）利潤函數(shù)L（萬元）與售價(jià)x的關(guān)系式為：L（x）=（銷售一件商品獲得的利潤）×一年的銷售量；
（2）對(duì)利潤函數(shù)求導(dǎo)，得L′（x），令L'（x）=0，解得x的值，從而求得L（x）的最大值，即利潤最大．

解答：解：（1）該連鎖分店一年的利潤L（萬元）與售價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L（x）=（x-9）（13-x）²，x∈[10，12]．
（2）對(duì)利潤函數(shù)求導(dǎo)，得L′（x）=（13-x）²-2（x-9）（13-x）=（13-x）（31-3x）；
令L'（x）=0，得x=

31

3

或x=13（舍去）；
因?yàn)長（x）在x∈[10，

31

3

]上單調(diào)遞增，L（x）在x∈[

31

3

，12]上單調(diào)遞減，
所以Lmax=L(

31

3

)=(

31

3

-9)(13-

31

3

)2=

256

27

．
答：當(dāng)每件售價(jià)為

31

3

元時(shí)，該連鎖分店一年的利潤L最大，最大值為

256

27

萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利潤函數(shù)模型的應(yīng)用，并且考查了用導(dǎo)數(shù)法求三次函數(shù)在定義域上的最值問題，屬于中檔題．