橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)的右焦點F2（1，0），離心率為
1
2
，已知點M坐標是（0，3），點P是橢圓C上的動點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求|PM|+|PF2|的最大值及此時的P點坐標．
分析：（1）由題可得c=1，e=
c
a
=
1
2
，解得a=2，則b=
a2-c2
=
3
，由此能求出橢圓E的方程．
（2）由點M是圓C：x2+（y-3）2=1上的動點，知|PM|≤|PC|+1．設(shè)橢圓的左焦點為F1（-1，0），依據(jù)橢圓的定義知，|PF|=4-|PF1|，故|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF1|=|PC|-|PF1|+5≤|CF1|+5，由此能求出|PM|+|PF2|的最大值及此時的P點坐標．
解答：解：（1）由題可得c=1，e=
c
a
=
1
2
，解得a=2，
則b=
a2-c2
=
3
，
橢圓E的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；（2分）
（2）∵點M是圓C：x2+（y-3）2=1上的動點，
∴|PM|≤|PC|+1，（3分）
設(shè)橢圓的左焦點為F1（-1，0），
依據(jù)橢圓的定義知，|PF|=4-|PF1|，（5分）
∴|PM|+|PF|≤|PC|+1+4-|PF1|=|PC|-|PF1|+5≤|CF1|+5，
當點P是CF1延長線與橢圓的交點時，
|PC|-|PF1|取得最大值|CF1|=
10
，
∴|PM|+|PF|的最大值為
10
+5，（7分）
此時直線CF1的方程是y=3x+3，
點P的坐標是方程組
y=3x+3
x2
4
+
y2
3
=1
的解，
消去y得，13x2+24x+8=0，（9分）
解得x=
-12±2
10
13
，
根據(jù)圖形可知xp=
-12-2
10
13
，yp=
3-6
10
13
，（10分）
此時的P點坐標為（
-12-2
10
13
，
3-6
10
13
）．（12分）
點評：本題考查求橢圓的方程；求線段和的最大值及此時的對應(yīng)點坐標．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

一條斜率為1的直線l與離心率e=
2
2
的橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）交于P、Q兩點，直線l與y軸交于點R，且
.
OP
•
.
OQ
=-3，
.
PR
=3
.
RQ
，求直線l和橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A1，A2，上、下頂點為B2，B1，點P（
3
5
a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A2B2，直線PO分別交A1B1、A2B2于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=
4
21
7
，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設(shè)R點是橢圓C上位于第一象限內(nèi)的點，F(xiàn)1、F2是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F1RF2且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1的離心率為
3
2
，過橢圓C上一點P（2，1）作傾斜角互補的兩條直線，分別與橢圓交于點A、B，直線AB與x軸交于點M，與y軸負半軸交于點N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）若S△PMN=
3
2
，求直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率e=
2
2
，左焦點為F1（-1，0），右焦點為F2（1，0），短軸兩個端點為A、B．與x軸不垂直的直線l與橢圓C交于不同的兩點M、N，記直線AM、AN的斜率分別為k1、k2，且k1k2=
3
2
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證直線l與y軸相交于定點，并求出定點坐標．
（3）當弦MN的中點P落在△MF1F2內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右頂點的坐標分別為A（-2，0），B（2，0），離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程：
（Ⅱ）設(shè)橢圓的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x=4上．

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