Question

(1)平面內(nèi)有10個點，其中任意3點都不在一條直線上，過這10個點的任意兩點可連成多少條直線？以這10個點中的任意3點為頂點可作出多少個三角形？

(2)平面內(nèi)的10個點中有3個點在一條直線上，其余任意3點都不在一條直線上，又可連成多少條直線，作出多少個三角形？

Answer 1

答案：
解析：

解 (1)由于平面內(nèi)兩點可以確定一條直線，且所得直線與兩點順序無關(guān)，當(dāng)平面內(nèi)10個點中任意3點不共線時，我們從中任取兩點就可確定一條直線，故可連成=45條直線． 當(dāng)平面內(nèi)10個點中任意3點不共線時，從中任取3點，就可作出一個三角形，共有=120個三角形． (2)因為這10個點中有3點共線，我們將這10個點分為兩類：第一類是共線的3點，第二類是無3點共線的7個點．從第二類的7個點中任取兩點可連成條直線，從第二類中任取一點與第一類中任選一點又可以連成條直線；又第一類的3個點連成一條直線．于是，這樣的10個點可連成＋＋1=43條直線． 利用同樣的方法考慮三角形問題，從第二類中任取3個點為頂點，可作出個三角形；從第二類中任取兩點與第一類中任取一點為頂點，可作出個三角形；從第二類中任取一點與第一類中任取兩點為頂點，可作出個三角形．于是過這樣的10個點中每3點可作出＋＋=35＋63＋21=119個三角形． 解決這個問題也可用排除法．將平面內(nèi)10個點中的每兩點連線，最多可連條直線，但其中有3點共線，而這3個點可連條直線，顯然這條直線不全存在，僅有一條，故10個這樣的點可連－＋1=45－3＋1=43條直線． 對于平面內(nèi)的10個點，以每3點為頂點，最多可作出個三角形，但其中共線的3點可作的個三角形不存在，故這樣的 10個點可作出－=120－1=119個三角形．