Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDD₁
（Ⅱ）求異面直線BD₁與AD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定證明AC⊥平面BDD₁，只要證明DD₁⊥AC，AC⊥BD即可；
（Ⅱ）利用平移法得出∠CBD₁（或其補角）為異面直線BD₁與AD所成角，進而可求異面直線BD₁與AD所成角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，∴DD₁⊥面AC，∴DD₁⊥AC
∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵DD₁∩BD=D
∴AC⊥平面BDD₁；
（Ⅱ）解：∵BC∥AD
∴∠CBD₁（或其補角）為異面直線BD₁與AD所成角
∵BC=2，BD₁=2

3

，BC⊥CD₁，
∴cos∠CBD₁=

3

3

點評：本題考查線面垂直的判定，考查異面直線所成角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．