Question

已知數(shù)列3.9，3.99，3.999，…，3.，…

（1）寫出它的通項(xiàng)a_n；

（2）計(jì)算|a_n－4|；

（3）第幾項(xiàng)以后所有的項(xiàng)與4的差的絕對(duì)值小于0.001？

（4）指出這個(gè)數(shù)列的極限.

Answer 1

解：（1）a_n=4－（）ⁿ.

（2）|a_n－4|=|4－（）ⁿ－4|=（）ⁿ.

（3）設(shè)第n項(xiàng)以后所有的項(xiàng)與4的差的絕對(duì)值小于0.001，則|a_n－4|=（）ⁿ<0.001，

∴n>3，即第3項(xiàng)以后滿足要求.

（4）數(shù)列{4－（）ⁿ}的各項(xiàng)與4的差的絕對(duì)值隨n的增大，越來(lái)越小，無(wú)限地接近于0，即各項(xiàng)隨n的增大無(wú)限地趨近于常數(shù)4.因此該數(shù)列的極限為4.

點(diǎn)評(píng)：無(wú)窮數(shù)列{a_n}的項(xiàng)a_n無(wú)限地趨近于某個(gè)常數(shù)a，即a_n與a的差的絕對(duì)值無(wú)限地接近于0，或a_n與a的差的絕對(duì)值越來(lái)越小，這個(gè)常數(shù)a即為數(shù)列{a_n}的極限.