Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，是橢圓上一點，軸，.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓交于、兩點，線段的中點為，為坐標原點，且，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）設(shè)橢圓的焦距為，可得出點在橢圓上，將這個點的坐標代入橢圓的方程可得出，結(jié)合可求出的值，從而可得出橢圓的標準方程；

（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，在軸時，可得出，從而求出的面積；在直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合，得出，計算出與的高，可得出面積的表達式，然后可利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出面積的最大值.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，由題知，點，，

則有，，又，，，

因此，橢圓的標準方程為；

（2）當軸時，位于軸上，且，

由可得，此時；

當不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，

由，得.

，，從而

已知，可得.

.

設(shè)到直線的距離為，則，

.

將代入化簡得.

令，

則.

當且僅當時取等號，此時的面積最大，最大值為.

綜上：的面積最大，最大值為.