Question

如圖，點(diǎn)A，B在拋物線y²=2px（p＞0）上，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于D，則點(diǎn)D在

1. A.
   某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)
2. B.
   某個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)
3. C.
   某個(gè)雙曲線上運(yùn)動(dòng)
4. D.
   某個(gè)拋物線上運(yùn)動(dòng)

Answer 1

D
分析：設(shè)出A，B，D的坐標(biāo)，利用OA⊥OB，可得y₁y₂=-4p²，利用OD⊥AB，A，D，B共線，即可求得結(jié)論．
解答：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x，y），（y₁≠y₂）則
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∵點(diǎn)A，B在拋物線y²=2px
∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂，
∴y₁y₂=-4p²，
∵OD⊥AB，∴
∴
∵A，D，B共線，，
∴（x-x₁）（y-y₂）=（y-y₁）（x-x₂）
∴x•（y₁-y₂）+y•+=0
∴x-y•-2p=0
∴x-y•（-）-2p=0
∴x²+y²-2px=0，（x≠0）．
即D點(diǎn)的軌跡方程為x²+y²-2px=0，（x≠0）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．