（12分）如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點 和的直線與原點的距離為．

（1）求橢圓的方程;

（2）已知定點，若直線與橢圓交于、兩    點．問：是否存在的值，

使以為直徑的圓過點?請說明理由．

 

【答案】

（1）．（2）存在，使得以CD為直徑的圓過點E。

【解析】

試題分析：（1）設橢圓的標準方程，根據離心率求得a和c關系，進而根據a求得b，則橢圓的方程可得．

（2）由題意知，直線l的參數(shù)方程，代入橢圓方程聯(lián)立消去x，y，要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時成立，利用關系式得到k的值。

解：（1）直線AB方程為：bx-ay-ab＝0．

依題意　解得　 

∴　橢圓方程為．　                  4分

（2）假若存在這樣的k值，

由得   ．6分

∴　　　　�、�

設，、，，則    ②    8分

而．

要使以CD為直徑的圓過點E（-1，0），當且僅當CE⊥DE時，則，即

  ∴　　③

將②式代入③整理解得．      經驗證，，使①成立．

綜上可知，存在，使得以CD為直徑的圓過點E．    12分

考點：本題主要考查了橢圓的方程與其幾何性質的運用。直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強，要求學生要有較高地轉化數(shù)學思想的運用能力，能將已知條件轉化到基本知識的運用．

點評：解決該試題的關鍵是熟悉圓錐曲線的基本性質，能運用a,b,c準確表示，而對于是否存在要使以CD為直徑的圓過點E，轉化為垂直的關系式得到。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省、陽東一中高二上聯(lián)考文數(shù)試卷（解析版） 題型：解答題

（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F1、F2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上的頂點，直線AF2交橢圓于另 一點B.

(1)若∠F1AB=90°，求橢圓的離心率；

(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆度吉林省吉林市高二上學期期末理科數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過頂點A、B的直線與原點的距離為．

 

 

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江蘇省淮安市高二上學期期末模擬考試（四）數(shù)學 題型：解答題

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．

 

 

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．

問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆山東省濰坊市高二寒假作業(yè)（三）數(shù)學試卷 題型：解答題

如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為．

 

 

（1）求橢圓的方程．

（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年河北省邯鄲市高二上學期期末考試數(shù)學理卷 題型：解答題

（示范高中）如圖，已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，過點 和的直線與原點的距離為．

(1)求橢圓的方程;

（2）已知定點，若直線與橢圓交于、兩點．問：是否存在的值，使以為直徑的圓過點?請說明理由．

 

 

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