Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²-2x+a（a≠0）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）不等式f（x）≥0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，即a≥

2x

x2+1

對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，運(yùn)用基本不等式求出右邊的最大值，即可得到取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，不等式為-x²-2x-1＜0，
即（x+1）²＞0，所以x≠-1，
所以所求不等式的解集為{x|x≠-1}；
（2）不等式為：ax²-2x+a≥0，即a≥

2x

x2+1

，
因?yàn)樵摬坏仁綄?duì)x∈（0，+∞）恒成立，
所以a≥(

2x

x2+1

)max，
因?yàn)?span id="gkykrlp" class="MathJye">

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

≤1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取最大值1．
所以a的取值范圍為a≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查二次不等式的解法和不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，注意運(yùn)用基本不等式，屬于中檔題．