Question

已知函數(shù)（a∈R）．
（1）當a=1時，求f（x）在點（3，f（3））處的切線方程；
（2）當a＞-1時，解關于x的不等式f（x）＞0；
（3）求函數(shù)f（x）在[0，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求得切點處的函數(shù)值與切線的斜率，即可得到切線方程；
（2）比較根的大小，分類討論，即可得到不等式的解集；
（3）換元，再利用導數(shù)法，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的最小值．
解答：解：（1）當a=1時，，∴f（3）=0
，x≠-1，∴f′（3）=
所以f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為，即3x-4y-9=0
（2）當a＞0時，a（a+2）＞0，故不等式的解集為（-1，0）∪（a（a+2），+∞）
當a=0時，，故不等式的解集為（-1，0）∪（0，+∞）
當-1＜a＜0時，-1＜a（a+2）＜0，故不等式的解集為（-1，a（a+2））∪（0，+∞）
（3）令t=x+1，則t∈[1，3]
∴f（x）=g（t）=，g′（t）=-
若a+1=0，g（t）在t∈[1，3]上遞增，故g（t）即f（x）的最小值為0
若a+1≠0，則g（t）在（0，|a+1|）上遞減，在（|a+1|，+∞）上遞增，
①若0＜|a+1|≤1，即-2≤a≤0且a≠-1時，g（t）在t∈[1，3]上遞增，故g（t）即f（x）的最小值為0；
②若1＜|a+1|＜3，即-4＜a＜-2或0＜a＜2，g（t）在[1，|a+1|]上遞減，在[|a+1|，3]遞增，
故g（t）即f（x）的最小值為g（|a+1|）=2|a+1|-（a²+2a+2）；
③若|a+1|≥3，即a≥2或a≤-4時，g（t）在t∈[1，3]上遞減，故g（t）即f（x）的最小值為
綜上所述：f（x）_min=．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查解不等式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學思想，確定函數(shù)的單調(diào)性是關鍵．