Question

已知等比數(shù)列{a_n}，首項(xiàng)a₁是的展開式中的常數(shù)項(xiàng)，公比，且t≠1．
（1）求a₁及m的值；
（2）化簡(jiǎn)C_n¹•S₁+C_n²•S₂+…+C_nⁿ•S_n，其中S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）若b_n=C_n•a₁+C_n¹•a₂+C_n²•a₃+…+C_nⁿ•a_n+1，時(shí)，證明b_n＜3，對(duì)任意n∈N*成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）在展開式的通項(xiàng)公式 T_r+1= 中，令，得r=1，可得a₁ 的值．由可得整數(shù)m的值．
（2）由（1）可得a_n=t^n-1，進(jìn)而得到，要求的式子即，提取公因式裂項(xiàng)求和，可得結(jié)果．
（3）先利用＜ 證明b_n＜，再利用，進(jìn)而證得b_n＜，
從而得到b_n＜3．
解答：解：（1）展開式的通項(xiàng)公式 =，
令，∴r=1，∴．
由 可得 ，∴m=4．（3分）
（2）由（1）知=t，a_n=t^n-1．
∴，
 故  C_n¹•S₁+C_n²•S₂+…+C_nⁿ•S_n =
= 
=
=． （6分）
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，===＜3．
當(dāng)n=1時(shí)，b_n=2＜3成立，
∴對(duì)任意n∈N*，b_n＜3成立． （4分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式的系數(shù)和，用放縮法證明不等式，用放縮法證明不等式，是解題的難點(diǎn)．