Question

如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)E、F在圓上且EF∥AB，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，已知AB=2，EF=1．
（Ⅰ）求證：平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）當(dāng)AD的長為何值時(shí)，二面角D-EF-B的大小為60°？

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，DA⊥AB
∴DA⊥平面ABEF，
∵BE?平面ABEF，∴DA⊥BE
∵AB是圓O的直徑，∴BE⊥AE
∵DA∩AE=A，∴BE⊥平面ADE
∵BE?平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）解：過點(diǎn)A作AM⊥EF，交EF的延長線于點(diǎn)M，連接DM．

根據(jù)（Ⅰ）的證明，DA⊥平面ABEF，則DM⊥EF，
∴∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，即∠DMA=60°．
在Rt△AFH中，∵AH=，AF=1，∴FH=．
又∵四邊形AMFH為矩形，∴MA=FH=．
∵AD=MA•tan∠DMA=•=．
因此，當(dāng)AD的長為時(shí)，二面角D-FE-B的大小為60°．
分析：（Ⅰ）證明BE⊥平面ADE，利用面面垂直的判定，可得平面ADE⊥平面BCE；
（Ⅱ）過點(diǎn)A作AM⊥EF，交EF的延長線于點(diǎn)M，連接DM，則可得∠DMA為二面角D-FE-B的平面角，求出MA的長，即可求得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力