Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)分別為a，b，c，且1+

tanA

tanB

=

2c

b

．
（I）求角A：
（II）若向量

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos²

C

2

），
試求|m+n|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理，將邊化為角，由同角的商數(shù)關(guān)系和兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得到A；
（Ⅱ）由向量的加法運(yùn)算和向量的模的公式，結(jié)合兩角差的余弦公式和正弦公式，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求得最小值．

解答： 解：（I）由正弦定理，1+

tanA

tanB

=

2c

b

即為
1+

sinA cosA

sinB cosB

=

2sinC

sinB

，即

sinAcosB+cosAsinB

sinBcosA

=

2sin(A+B)

sinB

則cosA=

1

2

，0＜A＜π，
則A=

π

3

；
（II）向量

m

=（0，-1），

n

=（cosB，2cos²

C

2

），
|

m

+

n

|=|（cosB，2cos²

C

2

-1）|=|（cosB，cosC）|
=

cos2B+cos2C

=

cos2B+cos2( 2π 3 -B)

=

1+ 1 4 cos2B- 3 4 sin2B

=

1- 1 2 sin(2B- π 6 )

，
因?yàn)锳=

π

3

，所以B∈（0，

2π

3

），2B-

π

6

∈（-

π

6

，

7π

6

），
sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]，
當(dāng)sin（2B-

π

6

）=1即B=

π

3

時(shí)，
|

m

+

n

|取得最小值，且為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，考查向量和的模的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意三角函數(shù)公式的合理運(yùn)用．