Question

已知雙曲線(xiàn)方程，橢圓方程，A、D分別是雙曲線(xiàn)和橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，B、C分別為雙曲線(xiàn)和橢圓的右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|，|OB|，
|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的方程；
（2）若E是橢圓長(zhǎng)軸的左端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MC⊥CE，連接EM，交橢圓于點(diǎn)P，在x軸上有異于點(diǎn)E的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)CP、MQ的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由已知A是雙曲線(xiàn)的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，B為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn)，
雙曲線(xiàn)方程，
∴
∵|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比數(shù)列．
∴
∵D是橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)，
∴
∴
∴所求橢圓的方程為；
（2）由（1）知，C（2，0），E（﹣2，0），
設(shè)直線(xiàn)EM的方程為：y=k（x+2），P（，）
∵M(jìn)C⊥CE，
∴M（2，4k）
將y=k（x+2）代入
整理得（1+2k2）+8k²x+8k²﹣4=0
∵
∴
∴
∴P（）
設(shè)Q（，0），≠﹣2
若以MP為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)CP、MQ的交點(diǎn)，則MQ⊥CP
∴
∵，
∴=0
∴
∴=0
∴存在Q（0，0），使得以MP為直徑的圓恒過(guò)直線(xiàn)CP、MQ的交點(diǎn)．