Question

直線y=1-x交拋物線y²=2px（p＞0）于M，N兩點(diǎn)，向量與弦MN交于點(diǎn)E，若E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則p的值為

1. A.
   2
2. B.
   1
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由?x²-（2+2p）x+1=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的兩根，由=（x₁+x₂，y₁+y₂），E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為可求得，利用韋達(dá)定理即可求得p的值．
解答：∵直線y=1-x交拋物線y²=2px（p＞0）于M，N兩點(diǎn)，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由得x²-（2+2p）x+1=0，則x₁，x₂是方程x²-（2+2p）x+1=0的兩根，
由韋達(dá)定理得：x₁+x₂=2+2p①；
又∵向量與弦MN交于點(diǎn)E，
∴，而=（x₁+x₂，y₁+y₂），E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
∴，即x₁+x₂=3②
由①②得：2+2p=3，解得p=．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解決的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理，與條件“向量與弦MN交于點(diǎn)E，若E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為”結(jié)合來解決問題，屬于難題．