在如圖所示的幾何體中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F(xiàn)是BE的中點，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AE＝2CD＝2

(Ⅰ)證明DF⊥平面ABE；

(Ⅱ)求二面角A―BD―E的余弦值．

答案：
解析：

　　解：解法一(Ⅰ)取的中點，連結(jié)、．

　　因為∥，∥，所以∥．

　　又因為，，所以．

　　所以四邊形是平行四邊形，∥．　　分

　　在等腰中，是的中點，所以．

　　因為平面，平面，所以．

　　而，所以平面．

　　又因為∥，所以平面．　　分

　　(Ⅱ)因為平面，平面，所以平面平面．

　　過點作于，則平面，所以．

　　過點作于，連結(jié)，則平面，所以．

　　所以是二面角的平面角．　　分

　　在中，．

　　因為，所以是等邊三角形．又，所以

　　，．

　　在中，．

　　所以二面角的余弦值是．　　分

　　解法二　(Ⅰ)因為平面，∥，所以平面．

　　故以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則

　　相關(guān)各點的坐標分別是，，，

　　，，．　　分

　　所以，，．

　　因為，，

　　所以，．而，所以平面．　　分

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，，．

　　設(shè)是平面的一個法向量，由得

　　即．取，則．

　　設(shè)是平面的一個法向量，由得

　　即．取，，則．分

　　設(shè)二面角的大小為，則

　　故二面角的余弦值是．　　分


練習冊系列答案
相關(guān)習題

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在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD、ADEF、ABGF均為全等的直角梯形，且BC∥AD，AB=AD=2BC．
（Ⅰ）求證：CE∥平面ABGF；
（Ⅱ）求二面角G-CE-D的余弦值．

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在如圖所示的幾何體中，平行四邊形ABCD的頂點都在以AC為直徑的圓O上，AD=CD=DP=a，AP=CP=
2
a，DP∥AM，且AM=
1
2
DP，E，F(xiàn)分別為BP，CP的中點．
（I）證明：EF∥平面ADP；
（II）求三棱錐M-ABP的體積．

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（2012•朝陽區(qū)一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EF=1，BC=
13
，且M是BD的中點．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ADF；
（Ⅱ）在EB上是否存在一點P，使得∠CPD最大？若存在，請求出∠CPD的正切值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠ABC=60°，AC⊥FB．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）線段ED上是否存在點Q，使平面EAC⊥平面QBC？證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中點． 
（1）求證：CM⊥平面ABDE；
（2）求幾何體的體積．

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