Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）e^x．
（Ⅰ）如果f（x）定義在區(qū)間[-2，t]（t＞-2）上，那么
①當(dāng)t＞1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
②設(shè)m=f（-2），n=f（t）．試證明：m＜n；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）+（x-2）e^x，當(dāng)x＞1時(shí)，試判斷方程g（x）=x根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′（x）．①當(dāng)t＞1時(shí)，分當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)；當(dāng)x∈（1，t）時(shí)，判斷f′（x）的符號(hào)即可得出其單調(diào)性．②設(shè)h（t）=n-m，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值即可；
（II）利用導(dǎo)數(shù)（通過(guò)多次求導(dǎo)）研究其單調(diào)性即可．
解答：解：（I）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=x（x-1）e^x．
①當(dāng)t＞1時(shí)，
當(dāng)x∈（-2，0）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，t）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上可知：當(dāng)x∈（-2，0），（1，t）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
②設(shè)h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，h′（t）=t（t-1）e^t（t＞2），列表如下：
由表格可知h（t）的極小值為h（1）=e-=＞0，而h（-2）＞0，
∴當(dāng)t＞-2時(shí)，h（t）＞h（-2），即n＞m．
（II）g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x-1）²e^x，
問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：判定方程（x-1）²e^x=x當(dāng)x＞1時(shí)，根的個(gè)數(shù)．
設(shè)u（x）=（x-1）²e^x-x（x＞1），則u′（x）=（x²-1）e^x-1，
設(shè)v（x）=（x²-1）e^x-1（x＞1），則v′（x）=（x²+2x-1）e^x，
當(dāng)x＞1時(shí)，v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，而v（1）=-1＜0，v（2）=3e²-1＞0，
因此在（1，2）上存在唯一x，使得v（x）=0，即存在唯一x∈（1，2）使得u′（x）=0，
列表如下：
可知：u（x）_min=u（x）＜u（1）=-1＜0，由u（2）=e²-2＞0，y=u（x）的圖象如圖所示，因此y=u（x）在（1，+∞）只有一個(gè)零點(diǎn)，即g（x）=x（x＞1）只有一個(gè)零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值是解題的關(guān)鍵．