Question

已知y=f（x）是奇函數(shù)，在（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（x）＞0；求它在（0，+∞）上的單調(diào)性及f（x）的符號(hào)正負(fù)．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用函數(shù)的奇偶性，得到f（-x）=-f（x），將函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到（-∞，0），利用條件：y=f（x）是奇函數(shù)，在（-∞，0）上，f（x）是增函數(shù)，且f（x）＞0，得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）．
（1）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴0＞-x₁＞-x₂，
∵函數(shù)y=f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∴-f（x₁）＞-f（x₂），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)增函數(shù)．
（2）當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，
∵在（-∞，0）上f（x）＞0，
∴f（-x）＞0，
∴-f（x）＞0，
∴f（x）＜0．
∴在（0，+∞）上，數(shù)f（x）單調(diào)遞增且f（x）＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，本題難度不大，屬于基礎(chǔ)題．