Question

無窮等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)為a₁、公差為d，3、21、15是其中的三項(xiàng)，給出下列命題；
①存在滿足條件的數(shù)列{a_n}，使得對(duì)任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立．
②對(duì)任意滿足條件的d，存在a₁，使得99一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；
③對(duì)任意滿足條件的d，存在a₁，使得30一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)；
其中正確命題為

①②

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：首先根據(jù)條件得出d≤6，①利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)S_2n=4S_n，得出結(jié)論；②99-21=78能被6整除，且

78

6

=13，假設(shè)15和21之間有n項(xiàng)，那么99和21之間有13n項(xiàng)，得出結(jié)論；③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)，得出結(jié)論．

解答：解：根據(jù)條件等差數(shù)列的其中三項(xiàng)：3、15、21，
可以得到一個(gè)信息，d≤6；
①如果有S_2n=4S_n，那么由等差數(shù)列求和公式有：2na₁+n（2n-1）•d=4[na₁+

n(n-1)d

2

]，化簡(jiǎn)得到，d=2a₁，
所以只要滿足條件d=2a₁的數(shù)列{a_n}，就能使得對(duì)任意的n∈N^*，S_2n=4S_n成立，
②99-21=78能被6整除，且

78

6

=13，假設(shè)15和21之間有n項(xiàng)，那么99和21之間有13n項(xiàng)，所以99一定是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)，正確 
③30-21=9不能被6整除，如果d=6，那么30一定不是數(shù)列{a_n}中的一項(xiàng)，錯(cuò)誤．
正確綜上所述，①②正確
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件得出公差．屬于中檔題．