Question

（2013•未央區(qū)三模）（不等式選講）若實數a，b，c滿足a²+b²+c²=4，則3a+4b+5c的最大值為

10

2

．

Answer 1

分析：首先分析題目已知a²+b²+c²=4，求3a+4b+5c的最大值，考慮到柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²的應用，構造出柯西不等式求出（3a+4b+5c）²的最大值開方即可得到答案．

解答：解：因為已知a、b、c是實數，且a²+b²+c²=4根據柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+b²+c²）（3²+4²+5²）≥（3a+4b+5c）²
故（3a+4b+5c）²≤200，即3a+4b+5c≤10

2

即2a+b+2c的最大值為10

2

．
故答案為：10

2

．

點評：此題主要考查一般形式的柯西不等式的應用，對于此類題目很多同學一開始就想到應用球的參數方程求解，這個方法可行但是計算量較高，而應用柯西不等式求解較簡單，同學們需要很好的理解掌握．