Question

已知函數(shù)，為常數(shù).
（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，試比較與的大小；
（3）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，試證明.

Answer 1

（1）;（2）①當(dāng)時(shí)，，即；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，即;（3）詳見(jiàn)解析

試題分析：（1）根據(jù)題意切線平行于x軸即斜率為0，則對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，即，可求出a;（2）根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，函數(shù)就確定下來(lái)了，對(duì)其求導(dǎo)可得，可研究出函數(shù)的單調(diào)性情況，為了比較大小可引入一個(gè)新的函數(shù)，即令，則利用導(dǎo)數(shù)對(duì)其進(jìn)行研究可得，而，則可由m與1的大小關(guān)系進(jìn)行分類得出結(jié)論;（3）顯然兩零點(diǎn)均為正數(shù)，故不妨設(shè)，由零點(diǎn)的定義可得：，即，觀察此兩式的結(jié)構(gòu)特征可相加也可相減化簡(jiǎn)得：，現(xiàn)在我們要證明，即證明，也就是．又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051348151785.png" style="vertical-align:middle;" />，所以即證明，即．由它的結(jié)構(gòu)可令＝t，則，于是．構(gòu)造一新函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求此函數(shù)的最小值大于零，即可得證．
（1），由題，．               4分
（2）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．
由題，令，
則．                  7分
又，
①當(dāng)時(shí)，，即；
②當(dāng)時(shí)，；
③當(dāng)時(shí)，即．                        10分
（3），， ，，
，                                   12分
欲證明，即證，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051348822841.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以即證，所以原命題等價(jià)于證明，即證：，
令，則，設(shè)，，
所以在單調(diào)遞增，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051349072533.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
所以，所以                            16分