Question

已知在直角坐標(biāo)平面xOy中，有一個不在y軸上的動點P（x，y），到定點F（0，

1

4

）的距離比它到x軸的距離多

1

4

，記P點的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程；
（II）已知點M在y軸上，且過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點，若△MAB為正三角形，求M點的坐標(biāo)與直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，P的軌跡滿足拋物線的定義，故可求出拋物線的焦點，繼而求出拋物線方程．
（Ⅱ）先確定直線l的方程，求出|AB|，|MF|，根據(jù)F（0，

1

4

）即可確定M的坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）依題意知，動點P到定點F（0，

1

4

）的距離比它到x軸的距離多

1

4

，
∴曲線C是以原點為頂點，F(xiàn)（0，

1

4

）為焦點的拋物線（除去頂點）
∴

p

2

=

1

4

∴2p=1
∴曲線C方程是x²=y（y≠0）；
（Ⅱ）∵點M在y軸上，且過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點，△MAB為正三角形，
∴直線l的方程為l：y=

1

4

當(dāng)y=

1

4

時，x=±

1

2

，∴|AB|=1
∴|MF|=

3

2

∵F（0，

1

4

）
∴M(0，

1

4

+

3

2

)或M(0，

1

4

-

3

2

)．

點評：本題考查拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確求解拋物線方程是關(guān)鍵．