Question

已知拋物線x²=6y的焦點為F，橢圓C：的離心率為，P是它們的一個交點，且|PF|=2．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若直線y=kx+m（k≠0，m＞0）與橢圓C交于兩點A、B，點D滿足=0，直線FD的斜率為k₁，試證明．

Answer 1

【答案】分析：（I）設P（x_p，y_p），根據(jù)拋物線定義能夠求出，，由此可以求出橢圓C的方程．
（II）由題意知點D為線段AB的中點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），由題意知x_D=-4ky_D，，從而求出，進而得到，由此可知．
解答：解：（I）設P（x_p，y_p），根據(jù)拋物線定義，，
∴，（2分）
∵，即，
∴a²=4b²，橢圓是，（4分）
把代入，得a=2，b=1，橢圓C的方程為；（6分）
（II）：∵，
∴，點D為線段AB的中點（8分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），G（x_D，y_D），
∵，
∴x_D=-4ky_D，
由y_D=k•x_D+m，得，（10分）
∵，
∴，
∴，
∴．（12分）
點評：本題考查直線和圓錐軸線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．