Question

4．橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，弦AB過(guò)F₁，若△ABF₂的內(nèi)切圓面積為π，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂），則|y₂-y₁|的值為（　　）

• A． $\frac{5}{3}$
• B． $\frac{20}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{10}{3}$

Answer 1

分析 由已知△ABF₂內(nèi)切圓半徑r=1．，從而求出△ABF₂，再由ABF₂面積=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c，能求出|y₁-y₂|．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
過(guò)焦點(diǎn)F₁的直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
△ABF₂的內(nèi)切圓的面積為π，
∴△ABF₂內(nèi)切圓半徑r=1．
△ABF₂面積S=$\frac{1}{2}$×1×（AB+AF₂+BF₂）=2a=10，
∴ABF₂面積=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2c=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|×2×3=10，
∴|y₁-y₂|=$\frac{10}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．