Question

 

    如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、H分別是棱A₁B₁，D₁C₁上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B₁不重合），且EH//A₁D₁，過EH的平面與棱BB₁，

CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G。

   （Ⅰ）證明：AD//平面EFGH；

   （Ⅱ）設(shè)AB=2AA₁=2，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁

內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體

A₁ABFE—D₁DCGH內(nèi)的概率為。當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)

分別在棱A₁B₁，B₁B上運(yùn)動且滿足時，

求的最小值。

 

 

Answer 1

【答案】

 本小題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.滿分12分.

    解法一：

   （I）證明：在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD//A₁D₁.

又∵EH//A₁D₁，∴AD//EH

平面EFGH，

EH平面EFGH，

∴AD//平面EFGH.

   （II）設(shè)BC=b，則

長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的體積V=AB·AD·AA₁=2

幾何體EB₁F—HC₁C的體積

 

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

從而，

故

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

所以，p的最小值等于

解法二：

   （I）同解法一.

   （II）設(shè)BC=b，則

長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁的體積V=AB·AD·AA₁=2

幾何體EB₁F—HC₁C的體積，

設(shè)，則

故

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

從而，

 

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

所以，p的最小值等于