Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a、b∈R）在x=2處的切線方程為y=9x-14．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）令g（x）=-x²+2x+k，若對任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²-3a，
∵f（x）在x=2處的切線方程為y=9x-14，
∴，∴，∴，∴f（x）=x³-3x+2
∴f′（x）=3（x+1）（x-1），
由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞1；由f′（x）＜0，得-1＜x＜1．
故函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）；單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，
又f（0）=2，f（2）=4，有f（0）＜f（2），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上的最大值f（x）_max=f（2）=4．
又g（x）=-x²+2x+k=-（ x-1）²+k+1
∴函數(shù)g（x）在[0，2]上的最大值為g（x）_max=g（1）=k+1
因?yàn)閷θ我鈞₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]l，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，
所以有f（x）_max＜g（x）_max，則4＜k+1，∴k＞3．
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是（3，+∞）．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用f（x）在x=2處的切線方程為y=9x-14，求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意x₁∈[0，2]，均存在x₂∈[0，2]l，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，有f（x）_max＜g（x）_max，求出相應(yīng)函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，屬于中檔題．