設(shè)f(x)是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線x－1＝0對稱．且當(dāng)x∈[2，3]時，g(x)＝2a·(x－2)－4(x－2)3(a為實(shí)數(shù))

（1）求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

（2）在a∈(2，6]或(6，＋∞)的情況下，分別討論函數(shù)f(x)最大值，并指出a為何值時，f(x)的圖像的最高點(diǎn)恰好落在直線y＝12上．

答案：
解析：

(1) 　　　(2) 當(dāng)時，f(x)的最大值為，當(dāng)時，f(x)的最大值為f(±1)＝2a－4．并且，當(dāng)a＝8時，函數(shù)f(x)的圖像的最高點(diǎn)恰好落在直線y＝12上．

（1）當(dāng)時，，由于g(x)與f(x)的圖象關(guān)于直線x－1＝0對稱，所以，

當(dāng)時，，由f(x)為偶函數(shù)，可知：

所以，．

（2）不妨在區(qū)間上任取，設(shè)，則

如果,則，故<0，即f(x)在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增．所以，f(x)的最大值在取得，為f(1)＝2a－4．

令f(1)＝2a－4＝12可解得：a＝8

如果，則的符號不能確定，為確定f(x)的單調(diào)區(qū)間，可令<0

由于x1＜x2，要使上式成立，只需：，即，由此不難得知：

f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（證明略）

所以，f(x)在區(qū)間[－1，1]上的最大值為．

令=12，解之得：，與 矛盾．

綜上可知：當(dāng)時，f(x)的最大值為，當(dāng)時，f(x)的最大值為．

并且，當(dāng)a＝8時，函數(shù)f(x)的圖像的最高點(diǎn)恰好落在直線y＝12上．


提示：

(1)注意到g(x)是定義在區(qū)間[2，3]上的函數(shù)，因此，根據(jù)對稱性，我們只能求出f(x)在區(qū)間[－1，0]上的解析式，f(x)在區(qū)間[0，1]上的解析式，則可以根據(jù)函數(shù)的奇偶性去求．

(2)因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以，f(x)(－1≤x≤1)的最大值，必等于f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值．故只需考慮0≤x≤1的情形，此時，f(x)＝－4x3＋2ax．對于這個三次函數(shù)，要求其最大值，比較容易想到的方法是：考慮其單調(diào)性．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在A上的減函數(shù)，且f(x)＞0，則下列函數(shù)中為增函數(shù)的個數(shù)是(    )

①y=3-f(x)  ②y=1＋  ③y=［f(x)］2  ④y=1-

A.1               B.2                C.3               D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在R上,以2為周期的周期函數(shù),當(dāng)x∈(-1,1］時,f(x)=x2.求:

       (1)當(dāng)x∈(1,3］時,f(x)的表達(dá)式；

       (2)f(-3)及f(3.5)的值.

      

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)＞1，f(2)=，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(    )

A．a(chǎn)＜-1或a＞                       B．-l＜a＜

C．a(chǎn)＜                                  D．a(chǎn)＜且a≠-1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年大綱版高三上學(xué)期單元測試（6）數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

設(shè)f(x)是定義在［－1，1］上的奇函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)a,b∈［－1,1］,當(dāng)a+b

≠0時，都有>0.

 

（1）若a>b,試比較f(a)與f(b)的大小;

（2）解不等式f(x－)<f(x－);

 

（3）如果g(x)=f(x－c)和h(x)=f(x－c2)這兩個函數(shù)的定義域的交集是空集，求c的取值范圍.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：江蘇省2010年高考預(yù)測試題數(shù)學(xué) 題型：解答題

設(shè)f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù)，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0，x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f(x)為[0，1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間．對任意的[0，1]上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．

  (I)證明：對任意的∈(O，1)，，若f()≥f()，則(0，)為含峰區(qū)間：若f()f()，則為含峰區(qū)間：

  (II)對給定的r(0<r<0.5)，證明：存在∈(0，1)，滿足，使得由(I)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r：

  (III)選取∈(O，1)，，由(I)可確定含峰區(qū)間為或，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取，由與或與類似地可確定一個新的含峰區(qū)間，在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，）的情況下，試確定的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02，且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0. 34（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）

 

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