Question

討論下述函數(shù)的奇偶性：
（1）f（x）=

16x+1 +2x

2x

，
（2）f（x）=

In( x+1 )+ x (x＞0) 0(x=0) In( 1-x + -x )(x＜0)

，
（3）f（x）=log2(

1-x2

+

x2-1

+1)，
（4）f（x）=

a2-x2

|x+a|-a

（常數(shù)a≠0）．

Answer 1

分析：（1）先化簡(jiǎn)函數(shù)，然后求出函數(shù)的定義域看其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，最后判定f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（2）分段函數(shù)的奇偶性的判定需要分段求解判定，分別在每一段上判定f（-x）與f（x）的關(guān)系；
（3）先求函數(shù)函數(shù)的定義域，然后化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，可得函數(shù)f（x）的圖象由兩個(gè)點(diǎn)A（-1，0）與B（1，0）組成，
這兩點(diǎn)既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得到結(jié)論；
（4）要分a＞0與a＜0兩類(lèi)討論，先求出函數(shù)的定義域，判定是否對(duì)稱，然后根據(jù)f（-x）與f（x）的關(guān)系進(jìn)一步判定奇偶性即可．

解答：解：（1）函數(shù)定義域?yàn)镽，
先化簡(jiǎn)：f（x）=

16x+1

4x

+1=

4x+4-x

+1，
f（-x）=f（x），
∴f（x）為偶函數(shù)；

（2）須要分三段討論：
①設(shè)x＞0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（

1+x

+

x

）=ln

1

x+1 - x

=-ln（-

x+1

-

x

）=-f（x）
②設(shè)x＜0，∴-x＞0
∴f（-x）=ln（

-x+1

-

-x

）=ln

1

1-x + -x

=-ln（

1-x

+

-x

）=-f（x）
③當(dāng)x=0時(shí)f（x）=0，也滿足f（-x）=-f（x）；
由①、②、③知，對(duì)x∈R有f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)；

（3）∵

1-x2≥0 x2-1≥0

?x²=1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x=±1}，
∴f（x）=log₂1=0（x=±1），即f（x）的圖象由兩個(gè)點(diǎn)A（-1，0）與B（1，0）組成，
這兩點(diǎn)既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；
（4）∵x²≤a²，

∴要分a＞0與a＜0兩類(lèi)討論，
①當(dāng)a＞0時(shí)，

-a≤x≤a |x+a|≠a

?函數(shù)的定義域?yàn)椋?a，0）∪（0，a）
∴|x+a|＞0，∴f（x）=

a2-x2

x

，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）為奇函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，

-a≤x≤a |x+a|≠a

?函數(shù)的定義域?yàn)椋╝，0）∪（0，-a）
∵|x+a|＜0，∴f（x）=

a2-x2

-x-2a

，取定義域內(nèi)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)x₁=

a

2

，x₂=-

a

2

，
∵f（

a

2

）±f（-

a

2

）=

3

5

±

3

3

≠0，
∴當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定，在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，可根據(jù)定義判定函數(shù)奇偶性．