Question

16、如圖，P是△ABC所在平面外一點，M，N分別是PA和AB的中點，試過點M，N作平行于AC的平面α，要求：
（1）畫出平面α分別與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線；
（2）試對你的畫法給出證明．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意和線面平行的判定，需要過N點作NE∥AC、過M點作MF∥AC，連接EF，則由圖形和公理3得到與各個平面的交線；
（2）根據(jù)做法證出線線平行證出兩直線共面，再由公理3證出α與其它平面的交線，根據(jù)線面平行的判定定理證出線面平行．

解答：解 （1）過N點作NE∥AC交BC于E，
過M點作MF∥AC交PC于F，連接EF，
則平面MNEF為平行于AC的平面α，
則NE，EF，MF分別是平面α與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．
（2）證明：∵NE∥AC，MF∥AC，
∴NE∥MF，
∴直線NE與MF共面，
∵點N和E，點E和F，點M和F分別是α與平面ABC，平面PBC，平面PAC的公共點，
∴NE，EF，MF分別是平面MNEF與平面ABC，平面PBC，平面PAC的交線．
∵NE∥AC，NE?平面MNEF，∴AC∥平面MNEF．
∴平面MNEF為所求的平面．

點評：本題考查了平面的基本性質(zhì)和平面的畫法，主要是根據(jù)公理2以及推論、線面平行的判定定理作出平面，證平面的交線時依據(jù)公理3進(jìn)行證明．