Question

已知f（x）=x³-3x，過點A（1，m） （m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．（-1，1）
B．（-2，3）
C．（-1，2）
D．（-3，-2）

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)切點坐標，用導數(shù)求出切線斜率，再用斜率公式求出切線斜率，兩者相等，得到含m的方程，因為過點A（1，m） （m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，所以前面所求方程有3解，再借助導數(shù)判斷何時方程有3解即可．
解答：解；設(shè)切點坐標（x，x³-3x），
∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3
∴曲線y=f（x）在（x，x³-3x）處的切線斜率為3x²-3
又∵切線過點A（1，m），∴切線斜率為，
∴=3x²-3
即2x³-3x²+m+3=0  ①
∵過點A（1，m） （m≠-2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
∴方程①有3解．
令ω（x）=2x³-3x²+m+3，則ω（x）圖象與x軸有2個交點，∴ω（x）的極大值與極小值異號
ω′（x）=6x²-6x，令ω′（x）=0，得6x=0或1
∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0
-3＜m＜-2
故選D
點評：本題主要考查了導數(shù)的幾何意義，以及利用導數(shù)判斷方程根的個數(shù)．